Anta at vi har en tilbudskurve, som viser mengden av tilbudet til en gitt vare
for hvert nivå av prisen. Og en etterspørselskurve til den samme gode, som viser hvor antall enheter
som blir ønsket kjøpt til hvert nivå av prisen.
Da har vi to ligninger, en tilbudskurve og en etterspørselskurve, og to ukjente
i prisen (P) og mengden (X).
For få finne ut hva som nivået på prisen og mengden som gjør at tilbudssiden og etterspørselssiden er enige
om hva man skal betale for gode og hvor mye som skal produseres/kjøpes må vi løse et problem med to ligninger
og to ukjente .
Vi skal her lære å løse et slikt problem både ved regning og ved å løse problemet grafisk i en figur.
To tilfeller vi skal blir godt kjent i løpet av kurser er:
Opppgaver
Oppgave 2.3.1
I likevektskrysset under er tilbudskurven gitt ved \(P = 10 + 2X\) og etterspørselskurven gitt ved \(P = 30 - 2X\).
Hvor \(P\) er prisen og \(X\) er mengde.
Løs grafisk problem med de to ligningene (tilbudskurven og etterspørselskurven) og de to ukjente
(prisen \(P\) og mengden \(X\))
Løs problem ved regning (finn \(P\) og \(X\)).
For å løse dette grafisk gjør vi følgende:
Finn det punktet hvor begge grafene er like
For å finne mengden (\(X\)) går vi rett fra dette punktet og mot x-aksen og leser av \(x=5\).
For å finne prisen (\(P\)) går vi rett fra dette punktet og mot p-aksen og leser av \(p=20\).
Løsningen er at når \(x=5\) så vil både prisen fra tilbudskurven og prisen fra etterspørselskurven være \(p=20\)
For å løse dette ved regning gjør vi følgende:
Både tilbudskurven og etterspørselskurven har \(P\) på venstre side av lingingen (som den avhengige variabelen).
For å finne ut for hvilken \(X\) disse er like, setter tilbudskurven lik etterspørselskurven:
Vi ønsker å løse ligningen med hensyn på \(X\). Dvs. løse ligningen slik at \(X\) er aleine på ene siden.
Vi gjør dette ved:
samle alle ledd som inneholder \(X\) på den ene siden av likhetstegnet
samle alle ledd som ikke inneholder \(X\) på den andre siden
\[
\begin{aligned}
10 + 2X &= 30 - 2X \quad \text{samler leddene med }X \\
10 + 2X + 2X &= 30 \quad \quad \quad \text{husk at når vi bytte side, så bytter vi fortegn} \\
2X + 2X &= 30 - 10 \quad \text{samler leddene uten }X \\
2X + 2X &= 30 - 10 \quad \text{summerer sammen på begge sider} \\
4X &= 20 \quad \quad \quad \text{summerer sammen på begge sider} \\
\frac{4X}{4} &= \frac{20}{4} \quad \text{løser mhp. X ved å dele begge sider med tallet foran }X \\
X &= 5 \\
\end{aligned}
\]
Vi finner prisen (\(P\)) ved å sette inn \(x=5\) i enten tilbudskurven eller etterspørselskurven
Setter inn \(x=5\) i tilbudskurven:
\[
\begin{aligned}
P &= 10 +2X \\
&= 10 +2 \cdot 5 \\
&= 10 + 10 \\
&= 20 \\
\end{aligned}
\]
Vi har at løsningen er at tilbudskurven er lik etterspørselskurven når \(x=5\) og \(p=20\).
Merk: Vi kan kontrollere svaret ved å sette \(x=5\) inn i etterspørselskurven og se at vi
også her får \(p=20\).
Oppgave 2.3.2
I figuren under kan vi se to grafer, A og B. Ligningene til grafene er gitt ved ligning A er \(Y=X\)
og ligning B er \(Y = 0,75X + 1500\)
Løs grafisk, for hvilke verdier av \(Y\) og \(X\) hvor graf A er lik graf B
Løs problemet ved regning (finn \(Y\) og \(X\)).
Vi følger samme oppskriften som i forrige oppgave:
Finner det punktet hvor begge grafene er like
For å finne mengden (\(X\)) går vi rett fra dette punktet og mot x-aksen og leser av \(x=6000\).
For å finne prisen (\(Y\)) går vi rett fra dette punktet og mot y-aksen og leser av \(y=6000\).
Løsningen er at når \(x=6000\) så vil \(y=6000\) både for ligning A og ligning B.
For å løse dette ved regning følger vi samme oppskrift som tidligere:
Både ligning A og ligning B har \(Y\) på venstre side av lingingen (som den avhengige variabelen).
For å finne ut for hvilken \(X\) disse er like, setter ligning A lik ligning B:
Vi ønsker å løse ligningen med hensyn på \(X\). Dvs. løse ligningen slik at \(X\) er aleine på ene siden.
Vi gjør dette ved:
samle alle ledd som inneholder \(X\) på den ene siden av likhetstegnet
samle alle ledd som ikke inneholder \(X\) på den andre siden
\[
\begin{aligned}
X &= 0,75X + 1500 \quad \text{samler leddene med }X \\
X - 0,75X &= 1500 \quad \quad \quad \quad \text{husk at når vi bytte side, så bytter vi fortegn} \\
X - 0,75X &= 1500 \quad \quad \quad \text{alle ledd uten X er allerede samlet} \\
X - 0,75X &= 1500 \quad \quad \quad \text{summer leddene med X. Husk at X er det samme som 1X} \\
0,25X &= 1500 \\
\frac{0,25X}{0,25} &= \frac{1500}{0,25} \quad \text{løser mhp. X ved å dele begge sider med tallet foran }X \\
X &= 6000 \\
\end{aligned}
\]
Vi finner prisen (\(Y\)) ved å sette inn \(x=6000\) i enten ligning A eller ligning B
Setter inn \(x=6000\) i ligning A:
\[
\begin{aligned}
Y &= X \\
&= 6000 \\
\end{aligned}
\]
Vi har at løsningen er at ligning A er lik ligning B når \(x=6000\) og \(y=6000\).
Merk: Vi kan kontrollere svaret ved å sette \(x=6000\) inn i ligning B og se at vi
også her får \(y=6000\).
Oppgave 2.3.2
I oppgave 2.1.1 brukte vi en oversikt over prisene for sparkesykler i Bergen
(link) til å finne sammenhengen
mellom prisen på en tur med Ryde sine sparkesykler og antall minutter vi kjørte. Ligningen vi fikk var:
\[P = 5 + 2,5X \]
Hvor:
\(P\) er prisen på turen .
\(5\) er prisen for å låse opp sykkelen.
\(2,5\) er prisen per minutt vi kjører.
\(X\) er antall minutter vi kjører.
Den samme tabellen viser at hos Voi er det gratis å låse opp sparkesykkelen. Mens prisen per minutt er \(2,9\)kr.
I et diagram med mengde \(X\) på den horisontale aksen og pris \(P\) på den vertikale aksen, tegn
opp grafen til både Ryde og Voi som viser deres sammenheng mellom pris og antall minutter vi kjører
på sparkesykkel.
Hvor mange minutter må vi kjører før Ryde blir billigere enn Voi?
Ryde sin ligning for pris er oppgitt i oppgaveteksten:
\[P = 5 + 2,5X \]
Ryde sin graf vil krysse pris-aksen (vertikale aksen) i \(5\), mens den stige med \(2,5\)
for hvert minutt vi kjører.
For Voi sin ligning sier oppgaveteksten at det er gratis å låse opp sparkesykkel, så Voi
sin graf vil krysse pris-aksen i \(0\). Det koster \(2,9\)kr per minutt å kjøre,
så grafen til Voi til øke med \(2,9\) for hvert minutt vi kjører.
Ligningen til Voi blir:
\[P = 2,9X \]
Vi ser fra diagrammet vårt:
At Ryde sin graf ligger over Voi sin i begynnelsen, og Ryde har dermed
høyest pris i begynnelsen.
Voi sin graf har et høyere stigningstall og øker dermed raskere enn Ryde sin graf.
Når vi har kjørt i \(12,5\) minutter, så er prisene like. Det koster
\(36,25\)kr med både Ryde og Voi.
Kjører vi lengre enn \(12,5\) minutter er Voi dyrere enn Ryde.
Gratulerer! Du er nå ferdig med
"Forkurs del 3: Løse to ligninger med to ukjente"
Du skal nå ha lært:
Løse et problem med to ligningen to ukjente både grafisk og ved regning.