Vi skal benytte oss av rette linjer til å analysere sammenhengen mellom to variabler. Vi skal her gå igjennom den kunnskapen om rette linjer som vi trenger i dette kurset. Fokuset i denne delen er å kunne skrive opp det matematiske uttrykket for en rett line og tegne den rette linjen i et diagram, ut ifra informasjon gitt til oss enten iform av en tabell eller tekst.
Grafer
Grafer kan han ha mange ulik former, noen eksempler:
I eksemplene hvor vi skal gjøre utregninger skal vi forenkle og at at vi har med lineære linjer (rette linjer), som i Figur 3 og 4. Dette forenkler utregningen vår samtidig som vi beholder de egenskapene vi trenger for å analysere de problemstillingene vi skal se på.
Lineær (rett) linjer
En lineær linje er en rett linje som går mellom to punkter. Rette linjer har egenskapen uansett hvor på den horisontale aksen vi er, så endrer verdien på den vertikale aksen seg alltid med det samme når vi endrer posisjonen på den horisontale aksen med en enhet.
Eksempel 2.1.1: Lønn og antall timer på jobb
La oss se på et eksempel med sammenhengen mellom antall timer du jobber og lønnen du får utbetalt. Tenk deg at du har en deltidsjobb som betaler deg \(150\)kr per time du jobber. Hvor mye du får utbetalt i lønn bestemmes altså av to ting, antall timer du jobber og timelønnen din. Sammenhengen er vist i tabellen under.
I den første kolonnen ser vi antall timer du er på jobb. Den andre kolonnen viser den total lønnen du får utbetalt gitt antall timer du jobber. Vi ser for eksempel at \(1\) time på jobb gir \(150\)kr i lønn, mens \(4\) timer på jobb gir \(600\)kr i lønn. Kolonne nr \(3\) viser hvor mye den total lønnen endrer seg ved å jobbe en time ekstra. Siden du får \(150\)kr per time du jobber, vil endringen i lønn være den samme for hver time du jobber ekstra. Vi har at sammenhengen mellom total lønn og antall timer du jobber er en lineær sammenheng. Tegner vi denne sammenhengen inn i en figur får vi:
Det er vanlig at aksene på figuren tilpasses variablene vi ser på. I vår tilfelle er det to ting som kan variere. Det første er antall timer vi jobber, som vi har på den horisontale aksen og market med \(X\). Det andre som kan variere er den totale lønnen vår, som vi har på den vertikale aksen. Markert med "Lønn". Vi ser at sammenhengen mellom lønn og antall timer vi jobber er illustrert ved en rett linje som stiger etterhvert som vi går lengre mot høyre på den horisontale aksen. For time på x-aksen vi flytts mot høyre, så stiger grafen med \(150\) på y-aksen.
Av de to variablene som kan variere, lønn og antall timer, så er det antall timer som bestemmer lønnen. I matematikken så sier vi at lønn er den avhengige variablen, og vi setter denne på venstre side av likhetstegnet. Mens antall timer er en uavhengig variable og blir plassert på hørye siden av likhetstegnet. Vi kan altså skrive sammenhengen som:
\[ Lønn = Timelønn \cdot x \]I en grafisk fremstilling av ligningen har vi vanligvis den avhengige variablen på den vertikale aksen og den uavhengige variabelen på den horisontale aksen.
Eksempel 2.1.2: Lønn og antall timer på jobb, pluss grunnlønn
Anta at sammenhengen mellom antall timer på jobb og lønn er som i eksempel 2.1.1, men at du nå er i tillegg garantert en grunnlønn på \(400\)kr uavhengig av hvor mange timer du jobber. Hvordan kan vi da beskrive sammenhengen mellom lønn og antall timer på jobb?
Oppdater vi tabellen vår, får vi:
Vi ser at forskjellen denne lønnsmodellen og den i eksempel 2.1.1 er at lønnen her er \(400\)kr høyere per time du jobber. Grafisk ser vi dette ved:
Vi har fremdeles en lineær sammenheng mellom antall timer vi jobber og lønn. Forskjellen er nå hvor den rette linje krysser den vertikale aksen. Når vi hadde ingen grunnlønn, krysset den rette linjen den vertikale aksen i \(lønn = 0\). Altså jobbet vi \(0\) timer og fikk \(0\)kr i lønn. Mens nå når vi har en grunnlønn på 400kr, så krysser den rette linjen den vertikale aksen i \(lønn = 400\).
Matematisk kan vi uttrykke den nye sammenhengen mellom lønn og antall timer på jobb:
\[ Lønn = Grunnlønn + Timelønn \cdot x \]Et generelt utrykk for rette linjer
Når vi i matematikken jobber med rette linjer snakker vi ofte om den avhengige variabelen, den uavhengig variableen, skjæringspunktet og stigningstallet. I ligningen for lønn og antall timer på jobb, så hadde vi:
Den avhengige variabelen: Lønn
Lønn er en av de to variablene i ligningen som vi kan variere. Men lønnen er avhengig av den andre variabelen, antall timer, så vi sier at lønn er en avhengige variabelen.
Den uvhengige variabelen: Antall timer på jobb
Den andre variabelen i ligningen som vi kan endre på er antall timer på jobb. Denne variabelen er ikke avhengig av noen andre variabler i ligningen, så vi sier at antall timer på jobb er en uavhengige variabelen.
Skjæringspunktet: Grunnlønn
Grunnlønnen er en del av utbetalt lønn, men den er ikke avhengig av antall timer vi jobber. Den forteller oss hvor hva vi får i lønn hvis vi ikke jobber noe. Grafisk forteller den osshvor den rette linjen krysser den vertikale aksen (aksen som viser utbetalt lønn). I matematikken kaller vi dette for skjæringspunktet.
Stigningstallet: Timelønn
Timelønnen sier hvor mye utbetalt lønnen øker med for hver time vi jobber. I matematikken kaller vi dette for et stigningstall. Stigningstallet sier oss hvor mye grafen endrer seg hvis vi går bort en enhet på den horisontale aksen.
En rett linje: generell notasjon
Ved bruk av generell notasjon kan vi uttryke formelen for en rett linje som:
\[ Y = a + b \cdot X\]Hvor:
Skjæringspunktet
Generelt kan skjæringspunktet kan være negativt, null eller positivt. Eksempelvis kan \(a\) være \(a=-3\), \(a=0\) eller \(a=2\). Grafisk betyr dette at hvor den rette linjen krysser y-aksen har endret seg.
Stingingstallet
Stigningstallet kan også være negativt, null eller positivt. Grafisk betyr dette hvordan grafen endrer seg ettersom vi flytter oss langs x-aksen. Eksempelvis la \(b\) være \(b=-2\), \(b=0\), \(b=2\) eller \(b=\infty\) (uendelig).
Merk at i figur 2 er ligningen gitt ved \(Y=2\). Når stigningstallet er null (\(b=0\)), så er Y det samme uansett hva X er. Dermed er Y lik det samme tallet. En tilsvarende situasjon har vi med X når \(b=\infty\), som vist i figur 4. Vi kan for eksempel tenke oss her at X er mengde og Y er prisen på en vare jeg selger. Men jeg klarer bare å produsere 2 enheter i året, så uansett hvor høy eller lav prisen (Y). Jeg vil altså uansett produsere \(x=2\) enheter.
Opppgaver
Oppgave 2.1.1
En oversikt over prisene for sparkesykler i Bergen (link) viser at Ryde sin prising for en tur er todelt. Jeg må betale \(5\)kr for å låse opp sparkesykkelen, og \(2,5\)kr per minutt jeg bruker sparkesykkelen.
- I en graf som viser sammenhengen mellom prisen på en kjøretur med en av Ryde sine sparkesykkeler og antall minutter på turen, hva vil skjæringspunkt være og hva vil stigningstallet være?
- Tegn opp grafen.
Vi har en sammenheng mellom prisen på turen med sparkesykkelen (Y) og antall minutter vi kjører på sparkesykkelen (X).
Vi vet at skjæringspunkt gjenspeiler den delen av prisen som ikke er avhengig av hvor mange minutter vi kjører. Altså vil skjæringspunktet bli bestemt av kostnaden for å låse opp sparkesykkelen, så \(a=5\).
Den andre delen av prisen er den kostnaden som er avhengig av hvor mange minutter vi kjører på sparkesykkel. Denne delen består av kostnaden per minutt mulitplisert med antall minutter. I vårt uttrykk er X antall minutter, mens kostnaden per minutt vil være stigningstallet, slik at så \(b=2,5\).
Dermed kan vi beskrive sammenhengen mellom prisen på en tur med sparkesykkel og antall minutter vi kjører med sparkesykkelen som: \[ \begin{aligned} marginal nytte &= \text{nytte ved 2 burgere} - \text{nytte ved 1 burger} \\ &= 1000 - 600 \\ &= 400 \\ \end{aligned} \]
Vi ser at den grønne striplede linjen går fra \(x=2\) til \(x=3\), og x har økt med 1 enhet.
Den røde striplede linjen går fra \(y=10\) til \(y=12.5\), og y har økt med 2,5 enheter.
Stigningstallet er da:
\[ \begin{aligned} b & = \frac{ \text{endring i y} }{ \text{endring i x} } \\ & = \frac{2,5}{1} \\ & = 2,5 \end{aligned} \]Oppgave 2.1.2
Anta at vi har en funksjon \(Y = 30 - 2X\).
- Hva skjer hvis vi endrer stigningstallet til \(-4\)?
- Hva skjer hvis vi endrer skjæringspunktet \(20\)?
Hvis vi endrer stigningstallet til \(-4\), så vil grafen falle fortere nedover.
Med et stiningstall på \(-2\) vil grafen synke med \(-2\) for hver verdi vi øker X med, mens når stigningstallet er \(-4\), så vil grafen synke med \(-4\) for hver verdi vi øker X med.
Vi ser at begge grafene begynner i det samme skjæringspunktet (\(a=30\)), men den nye grafen med et stigningstall på \(-4\) synker raskere enn den den gamle grafen med et stigningstall på \(-2\).
Hvis vi endrer skjæringspunktet til 20, så flytter vi det punktet hvor grafen krysser y-aksen fra 30 til 20.
Vi ser at endringen i skjæringspunktet har parallellforskjøvet grafen vår nedover.
Oppgave 2.1.3
I tabellen under ser vi Netflix sine inntekter etter hvor mange abonnementer de har.
- Bruk informasjonen i tabellen til å skrive opp funksjonen som beskriver sammenhengen mellom inntekten til Netflix og antall abonnementer de har.
- Tegn grafen til funksjonen i a.
Vi ønsker å beskrive sammenhengen mellom antall abonnementer til Netflix og inntektene til Netflix.
Inntektene til Neflix være avhengig av antall abonnementer og vi lar inntektene være Y.
Antall abonnementer er ikke avhengig av noen andre variabler her og vi lar antall abonnementer være den uavhengige variablen X.
Regner vi ut differansen i inntekt for de forskjelle nivåene med antall abonnementer, ser vi at inntektene øker med \(109\)kr for hver økning i antall abonnementer.
Fra tabellen ser vi at hvis Netflix ikke har noen abonnementer, så har de \(0\) kr i inntekter. Siden de har \(0\) kr i inntekt når de har \(0\) abonnementer, så vil skjæringspunktet være null. \(a=0\).
For hver ekstra abonnenent Neftlix får, så øker inntekten med \(109\)kr. Dette blir stigningstallet vårt, \(b = 109\) kr.
Vi kan da uttrykke sammenhengen mellom inntekten til Netflix og antall abonnementer: \[ \begin{aligned} Y &= a + bX \\ &= 0 + 109X \\ &= 109X \end{aligned} \]
Tegner vi funksjonen fra a, får vi grafen:
Oppgave 2.1.4
Gjennomsnittlige månedlig leiepris i Bergen i dag kan uttrykkes som \(Leiepris = 6300kr + 2000kr \cdot X\). Hvor \(X\) representerer antall rom i leiligheten..
Tegn grafen som viser sammenhengen mellom leiepris og antall rom i leiligheten opp til 4 rom.
Fra oppgaveteksten har vi at skjæringspunktet er \(6300\) og stigningstallet er \(2000\). Grafen blir da:
Test selv: Tegn en rett linje
Her har du muligheten til å selv velge skjæringspunkt og stigningstall for en rett linje som du ønsker å tegne.
Y = + *X
For å få frem grafen, trykk på knappen "Plot rett linje".
Verdiene på x-aksen er satt til mellom 0 og 20 som standard, hvis du ønsker å endere på x-aksen, fyll inn her også trykke på knappen "Plot rett linje" igjen, for oppdatert versjon av grafen.
Minste verdi x-aksen:
Maks verdi x-aksen:
Gratulerer! Du er nå ferdig med
"Forkurs del 1: Rette linjer"
Du skal nå ha lært:
33.33%
Du har nå fullført 33.33% av forkurset i matematikk.